% partie d‚clarative
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\newcommand{\reff}[1]{(\ref{#1})}
\newcommand{\refg}[1]{({\sc Fig.}~\ref{#1})}

\newcommand{\EnTete}[3]{
		\begin{flushleft}
			Fran\c{c}ois Le Grand \hfill #1
			
			legrand@pse.ens.fr
			
			Cours de Macroéconomie 4 (Prof. Daniel Cohen)
			\url{http://www.pse.ens.fr/junior/legrand/cours.html}
		\end{flushleft}
		\begin{center}	
			\medskip
			\textbf{TD {#2}}
			
			\bigskip
			\textbf{#3} 
		\end{center}

\hrule\vspace{\baselineskip} 
}

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%
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\textit{#1} \\\nopagebreak
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   \it #1
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\begin{document}


\EnTete{Séances des 7/14 et 10/17 Novembre 2006}{9}{Endogenous Growth}

\bibliographystyle{cje}
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\bibliography{Biblio_TD}
\nocite{Ac:02}

\paragraph{\large{Points techniques du TD~:}} 
\begin{itemize}
	\item Croissance endogène,
	\item Progrès technique biaisé.
\end{itemize}

\section{Set--up du modèle}

L'économie est peuplée d'un agent représentatif qui consomme un bien final. Ce bien final est un agrégat de deux biens intermédiaires qui sont produits en utilisant à la fois des machines et du travail. Les deux biens se distinguent par la caractéristique des inputs~: ils sont supposés qualifiés pour l'un et peu qualifiés pour l'autre.

\textenitalique{Préférences}

Les préférences d'un agent représentatif sont définies de la manière suivante~:
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty }\frac{C_{t}^{1-\theta }}{1-\theta }e^{-\rho t}dt
\end{eqnarray*}

o\`{u} $C_{t}$ est la consommation de bien final.

\textenitalique{Bien final}

Le bien de consommation final est un agrégat des deux biens intermédiaires selon une fonction CES standard~:
\begin{eqnarray*}
C=\left[ \gamma \left( C_{L}\right)^{\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon }%
}+\left( 1-\gamma \right) \left( C_{H}\right)^{\frac{\varepsilon -1}{%
\varepsilon }}\right]^{\frac{\varepsilon }{\varepsilon -1}}
\end{eqnarray*}

$\varepsilon $ est l'élasticité de substitution entre les deux biens $H$ et $L$.

Le prix du bien final est normalisé à 1~:
\begin{eqnarray*}
\left[ \gamma^{\varepsilon }\left( p_{L}\right)^{1-\varepsilon }+\left( 1-\gamma
\right)^{\varepsilon }\left( p_{H}\right)^{1-\varepsilon }\right]^{\frac{1}{%
1-\varepsilon }}=1
\end{eqnarray*}

\section{Résolution}

\ques \'Ecrire la demande relative de chacun des biens $H$ et $L.$

\textenitalique{Biens intermédiaires}

Il existe deux biens intermédiaires dont la production utilise des inputs différents~: le secteur $L$ et le secteur $H$.

Le secteur $L$ produit à partir de travailleurs non--qualifiés $(L)$ et d'un continuum de machines $\left( x_{L}(j)\right) $ selon la fonction de production suivante~:
\begin{eqnarray*}
Y_{L}=\frac{1}{1-\beta }\left( \int_{0}^{N_{L}}x_{L}(j)^{1-\beta}dj\right) L^{\beta }
\end{eqnarray*}

o\`{u} $L$ désigne la quantité de travailleurs non--qualifiés employés et $N_{L}$ le nombre de machines à disposition dans le secteur $L$.

Symétriquement, la fonction de production dans le secteur $H$ est~:
\begin{eqnarray*}
Y_{H}=\frac{1}{1-\beta }\left( \int_{0}^{N_{H}}x_{H}(j)^{1-\beta}dj\right) H^{\beta }
\end{eqnarray*}

o\`{u} $H$ désigne la quantité de travailleurs qualifiés employés et $N_{H}$ le nombre de machines à disposition dans le secteur $H$.

\medskip

On note $w_{L}$ le salaire d'un travailleur de type $L$ (resp. $w_{H}$ le salaire d'un travailleur de type $H$). Une machine $(j)$ de type $L$ est loué au prix $\chi _{L}(j)$ (resp. une machine $(j)$ de type $H$ est loué au prix $\chi _{H}(j)$). Les secteurs $H$ et $L$ sont parfaitement concurrentiels.

\medskip

\ques \'Ecrire les fonctions de demande en machines $(j)$ de type $(i)$ pour chacun des secteurs.
\medskip

\textenitalique{Producteurs de machines}

\ques On suppose que les producteurs de machines sont des monopoles et que le coût marginal de production d'une machine est constant égale à $(1-\beta )$ unités du bien final. Calculer le prix de location fixé par chacun des producteurs de machines. En déduire le profit $\left( \pi _{i}\right) $ réalisé à chaque période par un producteur de machine de type $(i)$. 
\medskip

\ques Calculer la valeur actualisée $V_{i}$ des profits des monopoles producteurs de machines de type $(i)$ à l'état stationnaire. On notera $r$ le taux d'actualisation. En déduire le rapport $\frac{V_{H}}{V_{L}}$. Sous quelles conditions est--il plus incitatif d'innover dans le secteur $H$ plutôt que dans le secteur $L$~?
\medskip

\textenitalique{Equilibre sur le marché des biens}

\ques En utilisant l'équilibre sur le marché des biens intermédiaires, exprimer $\frac{V_{H}}{V_{L}}$ en fonction de $\frac{H}{L}$ et $\frac{N_{H}}{N_{L}}$ et des paramètres du modèle. On introduira le paramètre $\sigma =\varepsilon \beta +(1-\beta )$
\medskip

\ques Dans quelles circonstances une hausse de la dotation en travailleurs
qualifiés relativement aux travailleurs non--qualifiés augmentent le
ratio $\frac{V_{H}}{V_{L}}$~?
\medskip

\ques Dériver des conditions de premier ordre des firmes de biens intermédiaires, la courbe de salaires relatifs des deux facteurs $(\frac{w_{H}}{w_{L}})$ en fonction de $\left( \frac{N_{H}}{N_{L}}\right) $ et $\left( 
\frac{H}{L}\right) $. Commenter.

\textenitalique{Innovations technologiques}

On suppose que l'innovation technologique (invention de nouvelles machines) suit dans chacun des secteurs $(i)$ la loi d'évolution suivante~:
\begin{eqnarray*}
\dot{N_{i}}=\eta _{i}X_{i}
\end{eqnarray*}

o\`{u} $X_{i}$ désigne les ressources allouées à l'invention de nouvelles machines de type $(i)$ (en unité de bien final, \textquotedblleft Lab--Equipment Model\textquotedblright ). On suppose qu'il y a libre--entrée dans le secteur des innovations.

\medskip

\ques \'Ecrire la condition d'équilibre sur le marché des innovations technologiques. En déduire la relation qui lie $V_{H}$ et $V_{L}$ à l'état stationnaire, puis le nombre relatif de machines $\left( \frac{N_{H}}{N_{L}}\right) $ en fonction de la dotation factorielle $\left( \frac{H}{L}\right) $.
\medskip

\ques En déduire le ratio $\frac{w_{H}}{w_{L}}$ en fonction des dotations relatives $\left( \frac{H}{L}\right) $. Commenter.

\textenitalique{Programme du consommateur}

\ques \'Ecrire l'Equation d'Euler du programme du consommateur. En déduire que le taux de croissance de l'économie sur le sentier de croissance  équilibré est égal à~:
\begin{eqnarray*}
g=\frac{1}{\theta }\left( \beta \left[ \gamma^{\varepsilon }\left( \eta
_{L}L\right)^{\sigma -1}+\left( 1-\gamma \right)^{\varepsilon }\left( \eta
_{H}H\right)^{\sigma -1}\right]^{\frac{1}{\sigma -1}}-\rho \right)
\end{eqnarray*}
Commenter. Pourquoi parle--t--on \textquotedblleft d'effet
taille\textquotedblright\ lorsque $\sigma >1$~?
On supposera qu'il y a libre--entrée sur le marché de l'innovation. Expliquer pourquoi cela implique $\eta_{L}V_{L}=1=\eta_{H}V_{H}$.  

\medskip

\textenitalique{Application~: \textquotedblleft Skill Premium\textquotedblright }

La figure \refg{fig:TD9} représente l'évolution du salaire relatif des travailleurs qualifiés par rapport aux travailleurs non--qualifiés en fonction de l'offre relative de qualifiés et de non--qualifiés aux US.

\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[width = 12cm]{TD9image.pdf}	
	\caption{Evolution de la \textquotedblleft skill--premium\textquotedblright\ en fonction de l'offre relative des qualifiés et non--qualifiés.}
	\label{fig:TD9}
\end{figure}

\medskip

\ques Pourquoi l'évolution du salaire relatif des qualifiés par rapport aux non--qualifiés peut apparaître paradoxale~? Comment le modèle étudié permet--il de répondre à ce paradoxe~? Quelles autres explications pouvez--vous avancer~?

\end{document}
