% partie d‚clarative
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\newcommand{\reff}[1]{(\ref{#1})}
\newcommand{\refg}[1]{({\sc Fig.}~\ref{#1})}

\newcommand{\EnTete}[3]{
		\begin{flushleft}
			Fran\c{c}ois Le Grand \hfill #1
			
			legrand@pse.ens.fr
			
			Cours de Macroéconomie 4 (Prof. Daniel Cohen)
			\url{http://www.pse.ens.fr/junior/legrand/cours.html}
		\end{flushleft}
		\begin{center}	
			\medskip
			\textbf{TD {#2}}
			
			\bigskip
			\textbf{#3} 
		\end{center}

\hrule\vspace{\baselineskip} 
}

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%
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\bigskip
\textit{#1} \\\nopagebreak
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\newcommand{\correction}[1]{
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   \it #1
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\begin{document}


\EnTete{Séances des 14 et 17 Novembre 2006}{10}{Endogeneous Growth: modèles de R\&D}

\bibliographystyle{cje}
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\bibliography{Biblio_TD}
\nocite{Jo:95}

\paragraph{\large{Points techniques du TD~:}} 
\begin{itemize}
	\item Croissance endogène,
	\item Rôle de la R\&D et absence d'effet taille.
\end{itemize}


\section{Set--up du modèle}

L'économie est peuplée d'un agent représentatif qui consomme un bien final. Ce bien final est produit à partir du travail et d'un continuum de biens intermédiaires. Le secteur du bien final est parfaitement concurrentiel alors que les firmes du secteur intermédiaire sont en monopole. Celles--ci profitent du bénéfice de leur innovation et produisent à partir du capital. Les inventions de nouveaux biens intermédiaires se fait par l'intermédiaire de firmes de R\&D dans lesquelles travaillent des chercheurs. Il y a libre--entrée sur le marché de la R\&D et le travailleur/consommateur peut librement allouer son temps de travail entre le secteur final et celui de la recherche.

\section{Résolution}

\textenitalique{Le bien final}

Le bien final $Y$ est produit à partir du travail $L_Y$ et d'un continuum de biens intermédiaires $x$ que l'on indice sur $[0,A]$, $A$ étant supposé comme exogène pour ce secteur. Le secteur est parfaitement concurrentiel et la fonction de production est la suivante~:
\begin{eqnarray*}
	Y = L_Y^\alpha\,\int^A_0 x_i^{1-\alpha} di
\end{eqnarray*}

Le salaire des travailleurs du secteur est noté $w_Y$. Le bien intermédiaire $x_i$ est valorisé à $p_i$ unités de bien final, considéré comme numéraire. 
\medskip

\ques Déterminer $w_Y$ en fonction de $Y$ et $L_Y$.
\medskip

\ques Exprimer la demande en bien intermédiaire $x_i$ en fonction de $p_i$ et $L_Y$.
\medskip

\textenitalique{Les biens intermédiaires}

Le secteur des biens intermédiaires se compose d'un continuum de firmes sur $[0,A]$. Chaque firme est en monopole sur son segment. On suppose en effet qu'elle bénéficie d'une innovation du secteur de la R\&D qu'elle est la seule à produire. Elle produit en utilisant comme seul input le capital qui coûte $r$.
\medskip

\ques Exprimer l'élasticité de la demande d'un bien intermédiaire par le secteur du bien final~? En déduire le prix des biens intermédiaires.
\medskip

\ques Quelle est la quantité de biens intermédiaires produites par chaque firme~? Quel profit $\pi$ réalise--t--elle~?
\medskip

\ques On note $K$ la quantité de capital allouée aux firmes de biens intermédiaires. Déduire des questions précédentes la répartition de la valeur ajoutée $Y$ entre salaires, profits agrégés des firmes de biens intermédiaires et rémunération du capital. Commenter.

\textenitalique{La R\&D}

L'invention de nouveaux biens intermédiaires obéit à la loi suivante~:
\begin{eqnarray*}
	\dot{A} = \delta\,L_A^\lambda\,A^\phi
\end{eqnarray*}
$L_A$ désigne le nombre de chercheurs dans le secteur de la $R\&D$. $\lambda$ et $\phi$ sont des paramètres compris entre 0 et 1. 

Le secteur de la R\&D vend une innovation au prix $p_A$~: c'est assimilable à une \emph{patente}. On suppose qu'il y a libre entrée dans ce secteur.

Le marché du travail n'est pas segmenté entre chercheurs et travailleurs dans le secteur du bien final et les travailleurs choisissent librement de travailler dans le secteur R\&D pour un salaire $w_A$.
\medskip

\ques Commenter la loi d'évolution des innovations. En quoi se différencie--t--elle de celle du modèle de Romer (1990)~?
\medskip

\ques Calculer le salaire $w_A$ des chercheurs.

\textenitalique{Le consommateur}

Les préférences du consommateur représentatif sont définies de la manière suivante~:
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\infty }\frac{c_{t}^{1-\theta }}{1-\theta }e^{-\rho t}dt
\end{eqnarray*}
$c_t$ désigne la consommation instantanée par individu de bien final à la date $t$. Le taux de préférence privé pour le présente se note $\rho>0$. 
\medskip

\ques On note $K$ la richesse agrégée de l'économie. Exprimer la loi d'évolution de $K$ en fonction des autres paramètres agrégés de l'économie.
\medskip

\ques Récrire cette loi d'évolution en variables par tête. On notera ainsi $c = C/L$, $k = K/L$, $a=A/L$ avec $L = L_A + L_Y$. On suppose que la population croît au taux constant $n$.
\medskip

\ques \'Ecrire et résoudre le programme du consommateur. En  déduire l'équation d'Euler.

\textenitalique{Le sentier de croissance équilibré}

On cherche ici à déterminer l'équilibre stationnaire (donc de long--terme). Pour cela, on suppose que la part des chercheurs dans la population active $s = L_A/L$ est constante à long--terme et que $c$ et $y$ croissent aux taux $g>0$ constant.
\medskip

\ques Exprimer le taux de rendement du capital $r$ en fonction de $g$ à l'équilibre stationnaire. Montrer que le taux de croissance stationnaire $g_A$ du nombre de biens intermédiaires $A$ est égal à celui de la consommation $g$.
\medskip

\ques Utiliser la loi d'évolution de $A$ pour exprimer $g_A$. Pourquoi parle--t--on de croissance \emph{semi--endogène}~? Quelle est la principale différence avec le modèle de Romer (1990)~?
\medskip

\ques Calculer $\dfrac{\dot{p}_A}{p_A}$ et commenter.
\medskip

\ques On souhaite déterminer $s$
\medskip

\subques Déterminer la valeur d'une patente $p_A$. On utilisera deux méthodes~: (i) l'absence d'opportunités d'arbitrage (pour un investisseur neutre au risque qui peut investir  dans le capital et dans le secteur de la R\&D) et (ii)  Utiliser la méthode intégrale (supposer que les dates de survenue des inventions suit un processus de Poisson). 
\medskip

\subques En déduire $s=\dfrac{L_A}{L}$ et commenter.

\end{document}
